Soal dan Pembahasan Kombinasi

1.      Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain
putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk ganda putra?
penyelesaian:
Karena banyaknya pemain putra ada 8 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:

                      8!          8 . 7 . 6 !     56
     8C2 =———— = ———— = —— = 28
               (8 - 2)! 2!     6! . 2. 1       2

2.      Dari 7 siswa putra dan 3 siswa putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, berapakah banyaknya cara mambentuk tim tersebut?

Penyelesaian:
Karena anggota tim ada 5 dan paling banyak 2 putri maka kemungkinannya adalah: 5 putra atau 4 putra 1 putri atau 3 putra 2 putri
Banyak cara memilih 5 putra =7C5
Banyak cara  memilih 4 putra 1 putri =7C4  . 3C1
Banyak cara  memilih 3 putra 2 putri =7C3  . 3C2

Banyak cara = 7C5  + 7C4  . 3C1  + 7C3  . 3C2     

                               7!               7!                3!                7!               3!
                      = ———— + ———— x ————  + ———— x ————
                           (7 - 5)! 5!    (7 - 4)! 4!     (3 - 1)! 1!    (7 - 3)! 3!     (3 - 2)! 2!

                
                          7 . 6 . 5!     7 . 6 . 5 . 4!       3 . 2 . 1       7 . 6 . 5 . 4!      3 . 2 . 1
                      = ———— + ————— x ———  + ————— x ————
                           2 . 1 . 5!      3 . 2 . 1 . 4!       2 . 1           4! . 3 . 2 . 1      2 . 1

                      = 105 + 105 + 21 = 231

Jadi banyaknya cara membentuk tim ada 231 cara

3.      Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?

Jawaban:

4C3 =4! / 3! (4-3)!

= (4.3.2.1) / 3.2.1.1

= 24 / 6

= 4 cara

4.      Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.

Jawaban:

nCx = (n!)/(x!(n-x)!)

4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)

= 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH,MBH).

5.      Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal,  tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan . Banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa adalah….

Penyelesaian

mengerjakan 6 dari 8 soal,  tetapi nomor 1 sampai 4 wajib  dikerjakan

berarti tinggal memilih 2 soal lagi dari soal nomor 5 sampai 8

r = 2 dan n = 4

₄C₂ =     4 !   .      =  4x3x2x1    =   6 cara

            (4-2)! 2!        2x1  . 2x1

6.      Dari sebuah kantong yang berisi10 bola merah dan 8 bola putih akan diambil 6 bola sekaligus secara acak. Banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah….

Penyelesaian

• mengambil 4 bola merah dari 10 bola merah ® r = 4, n = 10 

      ₁₀C₄  =         10 !       =   10! 

                    (10-4)! 4!        6!  4!

                =    10x9x8x7x6!    =   210

                         6!   4!

• mengambil 2 bola putih dari  8 bola putih ® r = 2,  n = 8

       ₈C₂  =  8!      .  =      8x7x6!   .

               (8-2)! 2!          6! 2!

            = 28     

• Jadi banyak cara mengambil   4 bola merah dan 2 bola putih  adalah

  10C4 x 8C2 = 7.3.10 x 7.4  = 5880 cara

7.      Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan. Banyak cara memilih 11 orang siswa dari 20 siswa, yaitu .

8.      Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah ....

Jawab:

Banyak jabat tangan = C(15,2)

15!/(2!13!) = 105

9.      Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak segaris adalah ....

Jawab:

Membuat segitiga dengan memilih 3 titik dari 7 titik yang tersedia adalah masalah kombinasi C(7, 3). Jadi, banyaknya segitiga = C(7,3)

10.  Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!

Jawaban:

Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak

cara menyeleksi:

9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360

11.  Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....

Jawaban:

6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara

12.  Dalam sebuah kantoh terdapat 7 kelereng. Berapa banyak cara mengambil 4 kelereng dari kantong tersebut?

Jawaban:

7C4 = 7!/4!(7-4)! = (7×6×5×4!)/4!3! = 35 cara

13.  Dari 3 siswa, yaitu Budi, Rendi, dan Rema akan dibentuk pasangan ganda bulu tangkis. Berapa pasangan ganda yang dapat dibentuk dari ketiga siswa tersebut?

Jawab:

Banyaknya pasangan ganda bulu tangkis yang dapat dibentuk adalah C(3, 2)

C (3, 2) = 3!/(3-2)! 2!

                                    = 3!/1! 2!

                                     = 3 x 2!/1! 2!

                                    = 3/1

                                    = 3

14.  Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah...

Jawab:

Dalam babak penyisihan, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Untuk menentukan banyaknya pertandingan yang terjadi digunakan kombinasi, karena tidak melihat urutannya lagi.

C (25, 2) = 25!/(25-2)! 2!

                                        = 25!/23! 2!

                                        = 25 x 24 x 23!/23! 2!

                                        = 25 x 24/ 2 x 1

                                        = 600/2

                                        = 300

15.  Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yg tersedia. Tentukan:

a.       banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan

b.      banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7 wajib dikerjakan.

Jawaban:

a.       8 C5 = 8!/5!(8-5)! =

(8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara

b.       6C3 = 6!/3!(6-2)! =

(6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara

16.  Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawaban:
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45

17. Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu desa  akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa sang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
    Jawab:
    6P2=6!/(6-2)!=(6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
                           = 720/24
                           = 30 cara.

18. Untuk pemilihan 4 mahasiswa menjadi pengurus himpunan mahasiswa jurusan matematika FMIPA UNM terdapat 8 mahasiswa prodi pendidikan matematika dan 6 mahasiswa prodi matematika yang memenuhi syarat untuk dipilih. Berapa banyak cara memilih pengurus bila semua anggota pengurus dari prodi yang sama?
    Jawaban :
    Dari prodi pendidikan matematika 8 orang, harus dipilih 4 orang. Berarti kita hitung dengan menggunakan C (8,4) = 70 cara
    Sedangkan dari prodi matematika, kita dapat memilih dengan C (6,4) = 6!/2!4! = 36x5x4!/2×4! = 15 cara.
    Sehingga jika yang terpilih adalah mahasiswa dari prodi yang sama, kemungkinan banyak cara memilih adalah C (8,4) + C (6,4) = 70 + 15 = 85 cara.
19. Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?
    Jawaban :
    Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara
    Banyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 cara
    Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara.
20. Tujuh siswa kelas III dan kelas II akan membentuk suatu tim delegasi. Tim delegasi tersebut terdiri dari 5 orang. Jika setiap kelas akan diwakili oleh 2 orang, maka berapakah cara membentuk delegasi ?
      Jawab : Kemungkinan membentuk anggota delegasi = (2 siswa kelas III dan 3 siswa kelas II atau 3 siswa kelas III dan 2 siswa kelas II maka banyak cara=
                     ( 7C2 . 7C3 )+ (7C3.7C2)= 21(35) + 35(21)= 1470 cara.
21. Dari 10 orang finalis kecantikan akan dipilih secara acak 3 terbaik, maka banyak cara pemilihan tersebut adalah .......
     Jawab   : Dari soal akan dipilih 3 orang dari 10 orang yang disediakan, jadi banyaknya cara memilih adalah 10C3= 10!/ 3!(10-3)! = 120 cara

22.  Setiap 2 warna yang berbeda dicampur dapat menghasilkan warna baru yang khas. Banyak warna baru yang apabila disediakan 5 warna yang berbeda adalah …

CARA :

            ₅C₂ =      5!    =   5.4.3!  = 10

                      2!(5-2)!   2.1.3!

23.  Diketahui 7 titik dan tidak ada 3 titik atau lebih yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dari titik-titik tersebut adalah …

CARA :

₇C₃ =      7!     =  210  = 35

          3!(7-3)!     6 

24.  6 orang siswa terpilih untuk mengikuti perlombaan tenis meja ganda. Tentukan banyaknya cara penyusunan pasangan pemain dari keenam siswa tersebut!

Jawaban :
Kombinasi 2 dari 6 :

             6!              6!               6.5.4 !
6C2 = ___________ = ________ = ___________ = 15 cara pemasangan
          (6 -2)! 2!     4! 2!             4! 2.1